Autour du modèle champ-route diffusif

Une partie significative de ma thèse s'est concentrée autour du modèle de réaction-diffusion champ-route sur le demi-espace \( \mathbb{R}^{N-1} \times \mathbb{R}^{\ast}_{+} \) (\( N \geq 2 \)) introduit en 2012 par H.Berestycki, J.-M.Roquejoffre et L.Rossi dans ce papier. L'objectif principal de ce modèle est de capturer de nouveaux phénomènes propagatifs en présence d'une ligne de diffusion rapide. Notre intérêt se porte sur l'étude de la solution \( (u,v) = ( u(t,x) , v(t,x,y) ) \) du système d'équations aux dérivées partielles suivant :

partant d'une donnée initiale \( (u_{0},v_{0}) = ( u_{0}(t,x) , v_{0}(t,x,y) ) \) bornée et intégrable (une marche par exemple).

Simulation microscopique et heuristique du modèle champ-route.
Le terme "champ" désigne le domaine \( \mathbb{R}^{N-1} \times \mathbb{R}^{\ast}_{+} \), tandis que le terme "route" désigne la frontière du champ, soit l'hyperplan \( \mathbb{R}^{N-1} \).

Dans le contexte de la dynamique des populations, la fonction \( v \) peut représenter la densité des individus dans le champ, et \( u \) celle sur la route.

La diffusion des individus est caractérisée par un coefficient \( d \) dans le champ et un coefficient \( D \) sur la route, avec typiquement, \( D \! \gg \! d \).

La condition d'échange, un élément central du modèle, est définie dans la deuxième ligne du système. Cette condition de bord de type Robin avec source joue un rôle clé en régulant le comportement des individus au bord du champ, qu'ils rebondissent ou soient extraits vers la route, mais gère également l'immigration depuis la route.

En prenant la fonction de réaction \( f \equiv 0 \), il est possible montrer que la masse d'individus reste préservée dans le temps ; on obtient alors un système purement diffusif.

Dans ce papier co-écrit avec Matthieu Alfaro et Romain Ducasse, nous explicitons la solution du système champ-route diffusif et en fournissons un contrôle uniforme en espace en temps longs.

Ce contrôle asymptotique permet d'estimer "la vitesse d'éparpillement" du mécanisme diffusif du modèle, ce qui ouvre la voie vers des questions d'explosion en temps fini, de persistance, ou d'extinction lorsqu'on munit le système de réactions sur-linéaires \( ( f(v) = v^{1+p}) \) ou de type monostable-dégénéré \( ( f(v) = v^{1+p}(1-v)) \) — ces dernières ayant pour but de modéliser une croissance avec effet Allee.

Explosion et existence globale pour un système échangeur de chaleur de type Fujita

Au cours de ma thèse je me suis également penché sur l'analyse des phénomènes d'explosion en temps finis de type Fujita dans les systèmes de réaction-diffusion, en particulier dans un contexte de couplage des inconnues par le mécanime de diffusion.

Pour mettre le problème dans son contexte, en 1966, le mathématicien H. Fujita a considéré l'équation semi-linéaire \( \partial_t u = \Delta u + u^{1+p} \) dans \( \mathbb{R}^N \), pour laquelle il a mis en évidence l'existence d'un exposant critique \( p_F =2/\! N \) séparant l'explosion systématique (\( p < p_F \)) de la possible existence globale (\( p > p_F \)) des solutions positives. Ce seuil, identifié à \( 1/\! p = N/\! 2 \), correspond au ratio d'équilibre entre le taux de décroissance algébrique uniforme de l'équation de la Chaleur \[ \partial_t \mathbf{u} = \Delta \mathbf{u} \] en \( \Vert \mathbf{u} (t,\cdot) \Vert_{L^\infty(\mathbb{R}^N)} \sim C/t^{N/\! 2} \), et le taux d'explosion algébrique de l'EDO sous-jacente \[ \frac{d}{dt}U = U^{1+p} \] en \( U(t) \sim C/(T_{boum}-t)^{1/\! p} \). Mon travail, synthétisé dans cet article, s'est concentré sur le système de type Fujita suivant :

où la constante \( \kappa \) vaut \( 0 \) ou \( 1 \) et joue le rôle d'un bouton on/off sur la seconde non-linéarité. Ma première contribution a été d'analyser le problème linéaire associé, démontrant que les solutions convergent exponentiellement vite vers celles d'un certain système parabolique découplé. J'ai ensuite exhibé les exposants critiques \( p \) et \( q \) qui séparent l'explosion systématique de la possible existence globale.

Modéliser le champ-route à partir d’un système de particules stochastique

Le travail décrit ici fait l'objet d'une collaboration avec Matthieu Alfaro et Mustapha Mourragui. Notre objectif est de produire le modèle champ-route diffusif à partir d’un système stochastique de particules en interaction.

Pour \( N \in \mathbb{N} \) fixé (\( N \) représente ici la taille du système et pas la dimension), on se place sur les réseaux \( \Lambda_N : = \mathbb{Z}/ N \mathbb{Z} \times [\![ 1 ; N-1 ]\!] \) (champ) et \( \Gamma_N : = \mathbb{Z}/ N \mathbb{Z} \) (route).

Chaque point de ces réseaux est appelé site et est occupé par au plus une particule — on parle d'exclusion simple.

On fait évoluer le système en temps continu : chaque événement sur le système (mouvement ou création/supression de particule) est muni d’une horloge exponentielle et se réalise à chaque fois que l’horloge sonne.

On règle la fréquence de chaque horloge au moyen du paramètre de sa loi exponentielle — l'une des subtilités étant de savoir comment effectuer ce réglage...

Exemple d'un système d'exclusion simple produisant à la limite l'équation de la Chaleur sur l'intervalle \( (0,1) \) avec conditions de Neumann sur les bords...
(cf. [Baldasso, Menezes, Neumann, Souza])
Cette évolution produit un processus Markovien de sauts à valeurs dans les espaces d’états \( \{0, 1\}^{\Lambda_N} \) pour le champ et \( \{0, 1\}^{\Gamma_N} \) pour la route.

Pour relier ce processus de sauts à la solution du champ-route, on associe chaque état à une mesure empirique qui est essentiellement une somme de masses de Dirac positionnées là où se trouvent les particules.

Un exemple de trajectoire càdlàg de mesures empiriques associées à un processus d'exclusion simple sur le tore \( \mathbb{Z}/ 3 \, \mathbb{Z} \).
Lorsqu’on envoie \( N \) vers l’infini, les masses de Dirac sont de plus en plus nombreuses et envahissent le paysage macroscopique si bien qu’à la limite, le processus de mesures empiriques converge vers une mesure absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue.

La densité de cette mesure limite est alors la solution du problème déterministe attendu.

Co-auteurs

Matthieu Alfaro — Romain Ducasse — Mustapha Mourragui

Présentations

• Bridging Bulk and Surface: An Interacting Particle System Journey towards the Field-Road Diffusion Model (Présentation HTML avec vidéos)
  
  Abstract

  This presentation explores the field-road diffusion model developed in 2012 by Berestycki, Roquejoffre, and Rossi. This parabolic system aims to capture the significant dispersal effects induced by lines of fast diffusion, with wide-ranging applications in population dynamics, ecology, and epidemiology.
  
  Initially, we will introduce the model, emphasizing its ability to simulate accelerated spread phenomena. We will then concentrate on the explicit determination of the fundamental solution to the macroscopic system, achieved through the application of a double integral transform, namely Fourier and Laplace. This analytical framework offers clear insights into the model's dynamics and sets the stage for exploring non-linear issues such as "persistence vs. extinction" phenomena in the presence of reaction terms with the so-called Allee effect.
  
  The second part of the talk will be dedicated to provide a stochastic foundation for the deterministic framework by deriving the governing equations of the diffusive field-road model from an interacting particle system. To introduce this approach, we will go back to the origins of the Symmetric Simple Exclusion Process (SSEP) which enables the rigorous derivation of solutions to the Heat equation on the torus. After outlining the principles of this type of particle system, we will see how it can be used to generate certain boundary conditions. This will allow us to introduce a microscopic dynamics for the field-road diffusion model and present our recent result on its hydrodynamic limit.
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• Blow-up vs. global existence for a Fujita type Heat echanger system (PDF sans vidéos) (Présentation HTML avec vidéos)
  
  Abstract

  Dans cette présentation, nous parlerons de phénomènes d'explosion en temps fini survenant pour certains problèmes de réaction-diffusion sur-linéaires.
  
  Nous commencerons par une introduction aux résultats fondateurs du mathématicien japonais H.Fujita concernant l'équation de la Chaleur altérée par l'ajout de l'inconnue élevée à la puissance 1+p (p>0) dans le second membre. Dans son travail de 1966, Fujita a mis en lumière un exposant critique pour p, marquant le seuil entre l'explosion systématique et la possible existence globale des solutions. Cette distinction est basée sur un rapport d'équilibre entre deux quantités algébriques remarquables associées aux parties réactives (croissance) et diffusives (éparpillement de la masse) de l'équation.
  
  Nous élargirons ensuite notre perspective en introduisant un système « échangeur de chaleur » où les inconnues sont couplées par un mécanisme de diffusion, tout en intégrant des réactions sur-linéaires et non-couplantes telles qu'énoncées précédemment. Une analyse fréquentielle de l'échangeur de chaleur purement diffusif nous permettra d'estimer son « intensité d'éparpillement », ce qui nous amènera aux principaux résultats de l'exposé concernant l'explosion systématique et la possible existence globale des solutions d'un tel système semi-linaire.
  
  Ce travail constitue un premier pas vers l'extension des problèmes de type Fujita aux systèmes couplés par diffusion et soulève plusieurs questions ouvertes, notamment l'exploration de mécanismes diffusifs plus complexes...


• Diffusive Dialogues: Mathematical Models of Individual Exchanging Across Spatial Domains (PDF sans vidéos) (Présentation HTML avec vidéos)
  
  Abstract

  In this talk, we examine mathematical models that describe the diffusion and exchange of individuals across spatial domains.
  
  We begin with the field-road model, emphasizing its biological foundations and its importance in understanding fast diffusion channels in population dynamics and ecology. Following this, we explain how to derive the explicit solutions for the field-road model and provide estimates on the asymptotic decay rate of these solutions.
  
  This analytical framework paves the way for exploring non-linear issues, including Fujita-type blow-up phenomena, which we explain by outlining the key concepts involved.
  
  We then turn to the Heat-exchanger model, which serves as a tractable first approach for deriving some coupled-by-diffusion Fujita-type systems. We proceed to characterize the purely diffusive version of this model. With this foundation, we tackle the question of blow-up vs. global existence that arises when incorporating super-linear Fujita-type reaction terms.
  
  The presentation concludes with insights into a stochastic simple exclusion process for the field-road diffusion model. We provide a brief overview of the mechanics of this particle system, drawing parallels with the canonical example of the Heat equation.


• The field-road diffusion model (PDF sans vidéos)
  
  Abstract

  We consider the linear field-road system, a model for fast diffusion channels in population dynamics and ecology. This system takes the form of a system of PDEs set on domains of different dimensions, with exchange boundary conditions. Despite the intricate geometry of the problem, we provide an explicit expression for its fundamental solution and for the solution to the associated Cauchy problem. The main tool is a Fourier (on the road variable)/Laplace (on time) transform. In addition, we derive estimates for the decay rate of the L^∞ norm of these solutions.

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