Influence d'un piston sur le phénomène de dispersion diffusive
Le travail décrit ici est réalisé en collaboration avec
Mingmin Zhang
et a donné lieu à l'écriture de
cet article.
Nous y introduisons un nouveau modèle de diffusion posé sur une demi-droite mobile
\( \{ z \geq b(t) \} \), dont le bord
\( z=b(t) \)
avance au cours du temps et agit comme une paroi imperméable repoussant les individus qu'elle rencontre.
Autrement dit, la frontière joue le rôle d'un piston : loin du bord, les individus se dispersent sous l'effet de la diffusion, tandis qu'au voisinage de la frontière ils sont bloqués puis entraînés par son mouvement.
D'un point de vue mathématique, la condition de bord imposée sur la frontière mobile est une condition de Robin qui compense exactement le flux créé par le déplacement du domaine.
Ce choix permet de conserver la masse totale de la population, tout en faisant apparaître un mécanisme nouveau : la frontière mobile agit contre l'éparpillement naturel induit par la diffusion.
L'objectif principal de l'article est alors de comprendre comment la vitesse de ce piston influence le comportement en temps long de la solution.
Pour cela, nous considérons des frontières de la forme
\( b(t)=c[(1+t)^\beta-1] \),
dont le comportement asymptotique est donné par
\( b(t)\sim ct^\beta \).
Ce modèle, bien que très élémentaire en apparence, révèle déjà une structure asymptotique étonnamment riche pour le phénomène fondamental de diffusion.
Nous montrons notamment l'existence d'un seuil critique
\( \beta=1/2 \),
qui correspond à l'échelle naturelle de la diffusion, en
\( \sqrt{t} \).
Lorsque
\( \beta<1/2 \),
la frontière avance trop lentement pour modifier profondément l'éparpillement diffusif : les profils asymptotiques restent gaussiens, comme pour l'équation de la chaleur avec condition de Neumann.
En revanche, lorsque
\( \beta>1/2 \),
le piston interagit fortement avec la population et fait apparaître des profils asymptotiques exponentiels, traduisant une concentration accrue près de la frontière mobile.
Le cas
\( \beta=1 \)
est particulièrement remarquable : la diffusion et l'advection induite par le bord mobile se compensent exactement, et la solution converge exponentiellement vite vers un profil stationnaire non trivial.
Ces résultats suggèrent que le simple déplacement d'une frontière peut suffire à transformer qualitativement la dispersion d'une population.
Cela ouvre naturellement la voie à l'étude de modèles plus complexes issus de la dynamique des populations, dans lesquels le piston serait combiné à des mécanismes de croissance, d'extinction ou d'interaction :
effet Allee, compétition intraspécifique, interactions proies-prédateurs, ou encore dynamiques densité-dépendantes.
L'idée générale est qu'un tel mécanisme de confinement mobile pourrait faire émerger des comportements nouveaux, où la vitesse du bord ne serait plus seulement un paramètre géométrique, mais un véritable moteur de la dynamique écologique.
Autour du modèle champ-route diffusif
Une partie significative de ma thèse s'est concentrée autour du modèle de réaction-diffusion champ-route
sur le demi-espace
\( \mathbb{R}^{N-1} \times \mathbb{R}^{\ast}_{+} \)
(\( N \geq 2 \)) introduit en 2012 par H.Berestycki, J.-M.Roquejoffre et L.Rossi dans
ce papier.
L'objectif principal de ce modèle est de capturer de nouveaux phénomènes propagatifs en présence d'une
ligne de diffusion rapide.
Notre intérêt se porte sur l'étude de la solution
\( (u,v) = ( u(t,x) , v(t,x,y) ) \)
du système d'équations aux dérivées partielles suivant :
partant d'une donnée initiale
\( (u_{0},v_{0}) = ( u_{0}(t,x) , v_{0}(t,x,y) ) \)
bornée et intégrable (une marche par exemple).
Simulation microscopique et heuristique du modèle champ-route.
Le terme "champ" désigne le domaine
\( \mathbb{R}^{N-1} \times \mathbb{R}^{\ast}_{+} \),
tandis que le terme "route" désigne la frontière du champ, soit l'hyperplan
\( \mathbb{R}^{N-1} \).
Dans le contexte de la dynamique des populations, la fonction \( v \) peut représenter la densité des
individus dans le champ, et \( u \) celle sur la route.
La diffusion des individus est caractérisée par un coefficient \( d \) dans le champ et un coefficient
\( D \) sur la route, avec typiquement,
\( D \! \gg \! d \).
La condition d'échange, un élément central du modèle, est définie dans la deuxième ligne du système.
Cette condition de bord de type Robin avec source joue un rôle clé en régulant le comportement des
individus au bord du champ, qu'ils rebondissent ou soient extraits vers la route, mais gère également
l'immigration depuis la route.
En prenant la fonction de réaction
\( f \equiv 0 \),
il est possible montrer que la masse d'individus reste préservée dans le temps ; on obtient alors un
système purement diffusif.
Dans
ce papier
co-écrit avec
Matthieu Alfaro
et
Romain Ducasse,
nous explicitons la solution du système champ-route diffusif et en fournissons un contrôle uniforme en
espace en temps longs.
Ce contrôle asymptotique permet d'estimer "la vitesse d'éparpillement" du mécanisme diffusif du modèle,
ce qui ouvre la voie vers des questions d'explosion en temps fini, de persistance, ou d'extinction
lorsqu'on munit le système de réactions sur-linéaires
\( ( f(v) = v^{1+p}) \)
ou de type monostable-dégénéré
\( ( f(v) = v^{1+p}(1-v)) \)
— ces dernières ayant pour but de modéliser une croissance avec
effet Allee.
Explosion et existence globale pour un système échangeur de chaleur de type
Fujita
Au cours de ma thèse je me suis également penché sur l'analyse des phénomènes d'explosion en temps finis
de type Fujita
dans les systèmes de réaction-diffusion, en particulier dans un contexte de couplage des inconnues par
le mécanime de diffusion.
Pour mettre le problème dans son contexte, en 1966, le mathématicien
H. Fujita
a considéré l'équation semi-linéaire
\( \partial_t u = \Delta u + u^{1+p} \)
dans
\( \mathbb{R}^N \),
pour laquelle il a mis en évidence l'existence d'un exposant critique
\( p_F =2/\! N \)
séparant l'explosion systématique
(\( p < p_F \)) de la possible existence globale (\( p> p_F \))
des solutions positives.
Ce seuil, identifié à \( 1/\! p = N/\! 2 \), correspond au ratio d'équilibre entre le taux de
décroissance algébrique uniforme de l'équation de la Chaleur
\[ \partial_t \mathbf{u} = \Delta \mathbf{u} \]
en
\( \Vert \mathbf{u} (t,\cdot) \Vert_{L^\infty(\mathbb{R}^N)} \sim C/t^{N/\! 2} \),
et le taux d'explosion algébrique de l'EDO sous-jacente
\[ \frac{d}{dt}U = U^{1+p} \]
en
\( U(t) \sim C/(T_{boum}-t)^{1/\! p} \).
Mon travail,
synthétisé dans cet article,
s'est concentré sur le système de type Fujita suivant :
où la constante \( \kappa \) vaut \( 0 \) ou \( 1 \) et joue le rôle d'un bouton on/off sur la
seconde non-linéarité.
Ma première contribution a été d'analyser le problème linéaire associé, démontrant que les solutions
convergent exponentiellement vite vers celles d'un certain système parabolique découplé.
J'ai ensuite exhibé les exposants critiques \( p \) et \( q \) qui séparent l'explosion systématique
de la possible existence globale.
Modéliser le champ-route à partir d’un système de particules stochastique
Le travail décrit ici fait l'objet d'une collaboration avec
Matthieu Alfaro
et
Mustapha
Mourragui et a donné lieu à l'écriture de
cet article.
Notre objectif est de produire le modèle champ-route diffusif à partir d’un système stochastique
de particules en interaction.
Pour \( N \in \mathbb{N} \) fixé (\( N \) représente ici la taille du système et pas la dimension), on
se place sur les réseaux
\( \Lambda_N : = \mathbb{Z}/ N \mathbb{Z} \times [\![ 1 ; N-1 ]\!] \)
(champ) et
\( \Gamma_N : = \mathbb{Z}/ N \mathbb{Z} \)
(route).
Chaque point de ces réseaux est appelé site et est occupé par au plus
une particule — on parle d'exclusion simple.
On fait évoluer le système en temps continu : chaque événement sur le système (mouvement
ou création/supression de particule) est muni d’une horloge exponentielle et se réalise à chaque fois
que
l’horloge sonne.
On règle la fréquence de chaque horloge au moyen du paramètre de sa loi exponentielle —
l'une des subtilités étant de savoir comment effectuer ce réglage...
Exemple d'un système d'exclusion simple produisant à la limite l'équation de la Chaleur sur
l'intervalle \( (0,1) \) avec conditions de Neumann sur les bords...
(cf. [Baldasso, Menezes, Neumann,
Souza])
Cette évolution produit un processus Markovien de sauts à valeurs dans les espaces d’états
\( \{0, 1\}^{\Lambda_N} \)
pour le champ et
\( \{0, 1\}^{\Gamma_N} \)
pour la route.
Pour relier ce processus de sauts à la solution du champ-route, on associe chaque état à une mesure
empirique qui est
essentiellement une somme de masses de Dirac positionnées là où se trouvent les particules.
Un exemple de trajectoire càdlàg de mesures empiriques associées à un processus d'exclusion
simple sur le tore \( \mathbb{Z}/ 3 \, \mathbb{Z} \).
Lorsqu’on envoie \( N \) vers l’infini, les masses de Dirac sont de plus en plus nombreuses et
envahissent le paysage macroscopique
si bien qu’à la limite, le processus de mesures empiriques converge vers une mesure absolument continue
par rapport à la mesure de Lebesgue.
La densité de cette mesure limite est alors la solution du problème
déterministe attendu.
Propagation de connaissances via une dynamique SIR
Le travail introduit ici constitue un projet réalisé en collaboration avec Romain
Ducasse et a donné lieu à l'écriture de
cet article.
Il concerne la propagation spatiale de connaissances au travers d'une dynamique "épidémiologique" de
type SIR.
Cette initiative prend son essence dans l’observation que l’ajout d’une diffusion chez les individus
infectés
dans le système d’EDO classique SIR fait apparaître une équation de type Fisher-KPP pour la
catégorie des
individus rétablis. Plus précisément, la composante \( R \) de la solution \( (S,I,R) \) du problème
verifie l'équation de réaction-diffusion
Dans ce qui précède, la fonction de réaction \( f \) est de type Fisher-KPP et se propage si et
seulement si le
nombre de reproduction moyen \( \mathcal{R}_{0} : = \frac{\alpha}{\mu}S_{0} \) est strictement
supérieur à 1.
Avec l’ambition de développer une variante de ce modèle préservant de telles dynamiques
propagatives, nous nous
intéressons à un couplage en chaîne des trois compartiments \( (S, I, R) \). Plus précisément, en
proposant de
faire l’analogie entre contamination et apprentissage, on symbolise un ensemble de connaissances par
l’ensemble
des entiers \(\mathbb{N}\) que l’on munit de sa relation d’ordre usuelle : \( n \in \mathbb{N} \)
représente le
\( n \)-ième niveau de savoir — on peut, par exemple, dire que \( n \) est un nombre de mots connus.
Les
individus connaissant \( n \) mots peuvent typiquement se trouver dans deux états distincts : \( I_n
\) ou \(
S_n \). Les individus \( I_n \) sont excités et font passer les individus \( S_{n-1} \) dans leur
compartiment
en leur apprenant le \( n \)-ième mot. Au bout d’un certain temps, les individus \( I_n \) se
calment en
devenant \( S_n \), et "quiescent" jusqu’à ce que les individus \( I_{n+1} \) les stimulent avec le
mot suivant.
Cette dynamique d’apprentissage est essentiellement représentée sur la figure ci-dessous :
Schématisation de la dynamique d'apprentissage considérée.
Le principal but de ce travail est d’identifier les critères déterminant la propagation
ou le blocage du \( n \)-ième niveau de connaissance, ainsi que, en cas d’invasion, sa vitesse de
propagation et sa capacité d’accueil.
Simulation du modèle pour 2 niveaux de connaissance.
Stabilité de l'état d'équilibre trivial dans des équations de réaction-diffusion monostables
dégénérées
(Présentation
HTML avec vidéos)
This talk addresses the long-term behavior of reaction-diffusion equations \( \partial_{t} u
= \Delta u + f(u) \) in \(
\mathbb{R}^{N} \), where the growth function \( f \) behaves as \( u^{1+p} \) when \( u \)
is near the origin.
Specifically, we are interested in the persistence versus extinction phenomena in a
population dynamics
context, where the function \( u \) represents a density of individuals distributed in
space.
The degenerated behavior \( f(u) \sim u^{1+p} \) near the null equilibrium models the
so-called Allee effect, which
penalizes the growth of the population when the density is low. This effect simulates
factors such as inbreeding,
mating difficulties, or reduced resistance to extreme climatic events.
We will begin the presentation by discussing a result linking the questions of persistence
and extinction with the
dimension \( N \) and the intensity of the Allee effect \( p \), as established in the
classical paper by Aronson
and Weinberger (1978).
This result is closely related to the seminal work of Fujita (1966) on blow-up versus
global existence of
solutions to the superlinear equation \( \partial_{t} u = \Delta u + u^{1+p} \).
Following these preliminary results, we will focus on a reaction-diffusion system involving
a heat exchanger, where
the unknowns are coupled through the diffusion process, integrating super-linear and
non-coupling reactions.
An analysis of the solution frequencies for the purely diffusive heat exchanger will allow
us to estimate its
dispersal intensity, which is a key information for addressing blow-up versus global
existence in such
semi-linear problems.
This work represents a first step toward Fujita-type results for systems coupled by
diffusion and raises several
open questions, particularly regarding the exploration of more intricate diffusion
mechanisms.
Cette thèse porte sur la dérivation et l’analyse de modèles de populations structurées
en espace, de nature stochastique et déterministe. L’objectif principal de ce travail
est d’améliorer notre compréhension des liens complexes entre les dynamiques individu-
centrées et le comportement global des populations, ainsi que l’évolution en temps long
de ces dernières. En mettant l’accent sur certains modèles présentant des dynamiques
d’échanges entre milieux hétérogènes, on explore les relations entre certains systèmes
de particules en interaction (processus d’exclusion simple) et les équations de réaction-
diffusion. Une attention particulière est également portée à l’analyse du comportement
en temps long des solutions de ces dernières, notamment aux critères de persistance ou
d’extinction des populations.
On commence par introduire dans le Chapitre 1 les principaux fondements théoriques
des équations de réaction-diffusion et des processus d’exclusion simple. Cette partie
établit
les prérequis essentiels pour les chapitres qui suivent.
Le Chapitre 2 est consacré à la dérivation microscopique, à partir d’un processus
d’exclusion simple, d’un système de réaction-diffusion connu sous le nom de “champ-route”,
utilisé pour modéliser l’impact des lignes de diffusion rapide en écologie et épidémiologie.
Dans le Chapitre 3, on rend explicite les solutions du système champ-route diffusif
original et on en fournit un contrôle uniforme en temps long. Ce type de contrôle s’avère
utile pour quantifier “l’intensité de dispersion” du processus diffusif et permet notamment
de montrer des résultats de persistance et d’extinction lorsqu’une fonction de croissance
avec effet Allee est introduite.
Enfin, le Chapitre 4 concerne des résultats de type Fujita sur l’explosion en temps
fini, par opposition à la possible existence globale des solutions, d’un système de
réaction-
diffusion sur-linéaire “échangeur de chaleur”. Cette étude permet de caractériser la
stabilité
de l’équilibre nul lorsqu’on ajoute une réaction monostable dégénérée en 0, pénalisant la
croissance des faibles densités. Ce point représente la clé de voûte de la caractérisation
des
phénomènes de persistance et d’extinction mentionnés plus haut.
Bridging Bulk and Surface: An Interacting Particle System Journey towards the Field-Road Diffusion
Model
(Présentation HTML avec vidéos)
This presentation explores the field-road diffusion model developed in 2012 by Berestycki,
Roquejoffre, and Rossi. This parabolic system aims to capture the significant dispersal
effects induced by lines of fast diffusion, with wide-ranging applications in population
dynamics, ecology, and epidemiology.
Initially, we will introduce the model, emphasizing its ability to simulate accelerated
spread phenomena. We will then concentrate on the explicit determination of the fundamental
solution to the macroscopic system, achieved through the application of a double integral
transform, namely Fourier and Laplace. This analytical framework offers clear insights into
the model's dynamics and sets the stage for exploring non-linear issues such as "persistence
vs. extinction" phenomena in the presence of reaction terms with the so-called Allee effect.
The second part of the talk will be dedicated to provide a stochastic foundation for the
deterministic framework by deriving the governing equations of the diffusive field-road
model from an interacting particle system. To introduce this approach, we will go back to
the origins of the Symmetric Simple Exclusion Process (SSEP) which enables the rigorous
derivation of solutions to the Heat equation on the torus. After outlining the principles of
this type of particle system, we will see how it can be used to generate certain boundary
conditions. This will allow us to introduce a microscopic dynamics for the field-road
diffusion model and present our recent result on its hydrodynamic limit.
Dans cette présentation, nous parlerons de phénomènes d'explosion en temps fini survenant
pour certains problèmes de réaction-diffusion sur-linéaires.
Nous commencerons par une introduction aux résultats fondateurs du mathématicien japonais
H.Fujita concernant l'équation de la Chaleur altérée par l'ajout de l'inconnue élevée à la
puissance 1+p (p>0) dans le second membre. Dans son travail de 1966, Fujita a mis en lumière
un exposant critique pour p, marquant le seuil entre l'explosion systématique et la possible
existence globale des solutions. Cette distinction est basée sur un rapport d'équilibre
entre deux quantités algébriques remarquables associées aux parties réactives (croissance)
et diffusives (éparpillement de la masse) de l'équation.
Nous élargirons ensuite notre perspective en introduisant un système « échangeur de chaleur
» où les inconnues sont couplées par un mécanisme de diffusion, tout en intégrant des
réactions sur-linéaires et non-couplantes telles qu'énoncées précédemment. Une analyse
fréquentielle de l'échangeur de chaleur purement diffusif nous permettra d'estimer son «
intensité d'éparpillement », ce qui nous amènera aux principaux résultats de l'exposé
concernant l'explosion systématique et la possible existence globale des solutions d'un tel
système semi-linaire.
Ce travail constitue un premier pas vers l'extension des problèmes de type Fujita aux
systèmes couplés par diffusion et soulève plusieurs questions ouvertes, notamment
l'exploration de mécanismes diffusifs plus complexes...
In this talk, we examine mathematical models that describe the diffusion and exchange of
individuals across spatial domains.
We begin with the field-road model, emphasizing its biological foundations and its
importance in understanding fast diffusion channels in population dynamics and ecology.
Following this, we explain how to derive the explicit solutions for the field-road model and
provide estimates on the asymptotic decay rate of these solutions.
This analytical framework paves the way for exploring non-linear issues, including
Fujita-type blow-up phenomena, which we explain by outlining the key concepts involved.
We then turn to the Heat-exchanger model, which serves as a tractable first approach for
deriving some coupled-by-diffusion Fujita-type systems. We proceed to characterize the
purely diffusive version of this model. With this foundation, we tackle the question of
blow-up vs. global existence that arises when incorporating super-linear Fujita-type
reaction terms.
The presentation concludes with insights into a stochastic simple exclusion process for the
field-road diffusion model. We provide a brief overview of the mechanics of this particle
system, drawing parallels with the canonical example of the Heat equation.
We consider the linear field-road system, a model for fast diffusion channels in population
dynamics and ecology. This system takes the form of a system of PDEs set on domains of
different dimensions, with exchange boundary conditions. Despite the intricate geometry of
the problem, we provide an explicit expression for its fundamental solution and for the
solution to the associated Cauchy problem. The main tool is a Fourier (on the road
variable)/Laplace (on time) transform. In addition, we derive estimates for the decay rate
of the L∞ norm of these solutions.
